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Les systèmes asservis


                          LES SYSTÈMES ASSERVIS




1. Structure générale :

Soit un système S défini par sa fonction de transfert H(p) en boucle ouverte: FTBO

Système asservi boucle ouverte

Pour asservir le système, on installe une boucle de retour qui corrige les "erreurs" de la sortie. Il faut donc pouvoir comparer la sortie à une valeur de consigne (⇒ comparateur) et corriger éventuellement la valeur de l'entrée du système (⇒ correcteur).

Système asservi boucle fermée
ε(t) = écart (improprement appelé "erreur" parfois).

On peut parler alors de système en boucle fermée.

exemple: un canon fonctionne en boucle ouverte alors qu'un missile téléguidé fonctionne en boucle fermée.

Il n'est pas nécessaire d'asservir un système si son comportement est bien connu et s'il n'y a pas de perturbations. Par contre, le bouclage permet de tenir compte de perturbations éventuelles et améliore en général les performances du système (les perturbations sont modélisées et considérées comme une 2ème entrée du système : on utilise le théorème de superposition pour faire l'étude).

2. Fonction de transfert d'un système asservi :

Fonction de transfert d'un système asservi

On peut toujours se ramener à un système à retour unitaire :
Fonction de transfert d'un système asservi
Système réduit de fonction de transfert :
On note FTBO la fonction de transfert en boucle ouverte du système soit FTBO = A.B et on étudie la fonction de transfert du système réduit soit :
 pour un 1er et un 2ème ordre bouclé : déterminer leurs caractéristiques

Si on connaît la FTBO (en général simple à calculer), la FTBF se trouve en réalisant la transformation :
La construction graphique de cette transformation se fait sur l'abaque de Hall
diagramme de Black
Sur le diagramme de Black, on trace deux séries de courbes :

- Les courbes isomodules :
- Les courbes isophases :
On a donc deux systèmes de coordonnées :

- les coordonnées rectangulaires ⇒ FTBO

- les coordonnées curvilignes ⇒ FTBF

On trace la FTBO et on déduit la FTBF point par point : le point M de la FTBO donne un point de la FTBF tel que G = -2dB et φ = -30° (coord. curvilignes). On reporte ce point M' dans le système de coordonnées rectangulaires.

3. Caractérisation des performances des systèmes asservis

3.1. Rapidité :

Elle est définie par le temps de réponse du système soumis à un échelon d'amplitude e0. En général, on prend le temps de réponse à 5%.

1er ordre : le temps de réponse diminue si on boucle le système :
d'où tr = 3τ ⇒ t'r = 3 (τ/(1+K)) et tr diminue si K augmente.

2ème ordre : le temps de réponse dépend du coefficient d'amortissement m qui diminue quand on boucle le système. 
Le temps de réponse peut donc augmenter ou diminuer suivant la valeur de m (par rapport à 0,69) mais on risque de faire apparaître des oscillations et un dépassement en bouclant le système.


3.2. Précision statique :

On caractérise la précision par ε l'écart (parfois appelé "erreur") entre la consigne e(t) et la sortie s(t) : ε(t) = e(t) – s(t)

- précision statique en régime permanent = limt→∞ ε(t)
- précision dynamique en régime transitoire (pas au programme de CPGE).

3.2.1. Ecart statique en position (ou erreur indicielle) notée εs : e(t) = e0.u(t)
• α = 0 : εs = e0/ 1+ K donc la précision augmente si le gain de la FTBO augmente.
• α > 0 : εs = 0 donc, si on a au moins un intégrateur dans la FTBO, le système est précis en position.

3.2.2. Ecart statique en vitesse (ou erreur de traînage ou de poursuite) notée εv : e(t) = a.t.u(t) 
• α = 0 : εv →
• α = 1 : εv = a/k donc la précision (avec un intégrateur) augmente si le gain de la FTBO augmente.
• α > 1 : εv = 0 donc, si on a au moins deux intégrateurs dans la FTBO, le système est précis en poursuite.

Attention : dans certains ouvrages, εs est appelée précision statique et εv précision dynamique.

3.3. Stabilité :


Un système est stable :

- si, écarté de sa position d'équilibre (par exemple par une perturbation), il y revient,
- si la réponse en régime libre tend vers 0,
- si la réponse en régime forcé tend vers une constante,
- si, à une entrée borné, correspond une sortie bornée …


3.3.1. Condition sur les pôles de la fonction de transfert

Un système est stable si les pôles de la fonction de transfert sont à partie réelle strictement négative.

Attention : si le système est asservi, il s'agit des pôles de la FTBF


Démonstration :

Si on soumet le système à une impulsion, il doit revenir à zéro.



S(p) = H(p) qu'on décompose en éléments simples :

- si on a un pôle nul (intégrateur), la réponse tend vers une constante (mais pas vers 0)



- si on a plusieurs intégrateurs, la réponse diverge.

Il suffit d'avoir un seul pôle à partie réelle positive ou nulle et la réponse (qui est la somme des réponses) diverge.

Pour savoir si les pôles sont à partie réelle strictement négative, il faudrait donc les déterminer !
On dispose d'un certain nombre de critères qui permettent de savoir si un système est stable sans calculer les pôles.

3.3.2. Critère de Routh

Soit :
Critère de Routh
Condition n°1: Pour que le système soit stable, il faut que tous les ai soient de même signe par ex. positifs.
(condition nécessaire en général réalisée pour les systèmes physiques)

Condition n°2 : Le système est stable si tous les coefficients de la colonne des pivots sont positifs.

Critère de Routh



NOTA : le nombre de changements de signe dans la colonne des pivots est égal au nombre de pôles à partie réelle positive.

3.3.3. Critères graphiques


Si ce système est stable en boucle ouverte, alors la stabilité ne dépend que des pôles du dénominateur en boucle fermée à savoir les pôles de 1 + H(p).

Il faut donc résoudre H(p) = -1 : le point (–1) du plan complexe (module = 1 et argument = -180°) est appelé point critique.

• critère du revers : dans le plan de Nyquist, on trace le lieu de la FTBO
Le plan de Nyquist

Le système est stable en boucle fermée si en parcourant le lieu de transfert de la FTBO dans le sens des ω croissants, on laisse le point critique à gauche.



NOTA : si le gain K de la FTBO augmente, la courbe se "gonfle" et le système devient instable (alors qu'il devient plus précis et plus rapide !).

• dans le plan de Black :
Le plan de Black
Le système est stable en boucle fermée si en parcourant le lieu de transfert de la FTBO dans le sens des ω croissants, on laisse le point critique à droite.

NOTA : les systèmes ayant une FTBO du 1er ou 2ème ordre sont toujours stables.

• dans le plan de Bode :
Le plan de Bode
Le système est stable en boucle fermée si pour la pulsation correspondant à φ = -180°, la courbe de gain de la FTBO passe au dessous du niveau 0 dB.

Donc si :

- pour φ = -180°, G > 0 dB
ou
- pour G = 0 dB , φ < -180°,

alors le système est instable.

3.3.4. Causes d'instabilité

• bouclage,
• le système devient instable quand le gain de la boucle ouverte augmente,
• influence des retards :
Un retard introduit un déphasage supplémentaire donc tout retard est source d'instabilité.

3.3.5. Degré de stabilité

Si le système est à la limite de stabilité, la moindre dérive des paramètres (dûe à la température, l'usure,…) peut entraîner l'instabilité ⇒ prévoir des marges de sécurité par rapport au point critique (–1).

• Marge de gain Mg : 

On trace le lieu de la FTBO.
marge de gain Bode, Black et Nyquist
Dans les lieux de Bode et Black, la marge de gain est la valeur du gain (en valeur absolue) pour la pulsation critique (pour laquelle φ = -180°) ⇒ Mg = - 20 log |H(jω-180°)|

On prend en général une marge de gain de 6 à 15 dB.

Dans la pratique, on translate la courbe de gain vers la bas jusqu'à obtenir cette marge de sécurité : ceci revient à diminuer le gain statique de la FTBO.

• Marge de phase Mφ : 

C'est la différence entre 180° et la phase du point de la FTBO de module 1 donc Mφ = 180° + arg (H(jω1)) avec ω1 = pulsation pour laquelle | H(jω1)| = 1 (soit 0 dB).
marge de phase Bode, Black et Nyquist
On prend en général une marge de phase de 45°.

4. Correction (compensation) des systèmes asservis

Un système est connu grâce à sa fonction de transfert et on en déduit ses caractéristiques : stabilité, précision et rapidité.

* la stabilité : est la caractéristique la plus impérative : à une consigne bornée, la réponse doit être bornée quels que soient les parasites, les perturbations, les variations des paramètres (température, usure…) : il faut donc prévoir une marge de sécurité. L'instabilité est dûe à la présence d'une boucle de retour (un système mécanique non bouclé ne peut être instable), à des retards dans la chaîne directe, à un gain de la boucle ouverte trop élevé …

* la rapidité : caractérise la facilité du système à suivre des variations rapides de la consigne (on dit que l'asservissement est "mou" s'il est peu rapide : il faut donc le "raidir" pour le rendre plus rapide). La rapidité augmente avec la bande passante de la FTBF et avec le gain statique de la FTBO.

* la précision : est caractérisée par l'écart entre la consigne et la sortie en régime permanent : elle augmente avec le gain statique de la FTBO et est liée à la présence d'intégrateurs dans la BO :


Ces trois caractéristiques sont en général incompatibles: il faut donc faire des compromis. On corrige les systèmes asservis en ajoutant un correcteur (de fonction de transfert C(p)) dans la boucle ouverte :
Système asservis avec un correcteur

4.1. Correction proportionnelle : C(p) = K.

Pour augmenter la rapidité et la précision, K > 1.
Pour augmenter la stabilité K < 1.

Détermination de K (K n'influe pas sur la phase de la FTBO) :

- en se donnant des marges de phase ou de gain :
- en se donnant une marge d'amplitude :

S'il y a résonance en boucle fermée, la courbe de gain de la FTBO dans le plan de Black (avec l'abaque de Hall) est tangente à un contour fermé de valeur |FTBF|maxi.

On limite la résonance en se fixant un facteur de surtension :
Si le gain statique de la FTBF est égal à 1 (au moins un intégrateur dans la BO), on détermine K graphiquement en translatant la courbe de gain de la FTBO jusqu'à ce qu'elle vienne tangenter le contour à 2,3 dB. On a alors |FTBF|maxi<2,3 dB.

4.2. Correction intégrale :

Comment augmenter la précision d'un système ? en introduisant un intégrateur dans la BO mais on risque ainsi de déstabiliser le système (en diminuant la phase de 90°) ⇒ on choisit un correcteur qui modifie la phase uniquement pour les basses fréquences :
Correcteur intégral PI
Choix du correcteur PI (proportionnel intégral) :
Il faut faire attention à ne pas diminuer la phase à la pulsation critique ⇒ éloigner 1/τ de cette pulsation critique :
Correcteur intégral PI

- si le système n'a pas de réserve de marge de phase (Mφ < 45°), on place le correcteur une décade avant ωc soit 1/τ = ωc/10
- si on a une marge de phase suffisante, on peut placer le correcteur plus près de ωc (jusqu'à ωc/4).

En général, ce correcteur diminue la rapidité du système.

4.3. Correction dérivée :

Quand on diminue le gain de la BO pour stabiliser le système, on diminue la rapidité et la précision en général.
Pour améliorer la stabilité, on peut aussi augmenter la phase donc ajouter un correcteur à phase positive (action dérivée).
Un dérivateur pur n'étant pas physiquement réalisable, on utilise un correcteur à avance de phase :
Correcteur dérivé PD

Choix du correcteur PD (proportionnel dérivé) : il faut modifier la FTBO du système asservi au voisinage du point critique donc choisir ωn proche de ωc. Ensuite, on détermine a pour avoir une marge de phase correcte et K pour affiner les réglages (rapidité, précision…).
Ce correcteur augmente la marge de phase, donc la stabilité et aussi la rapidité du système (en ajoutant un gain aux pulsations élevées) mais il provoque un pic important lors de changements brutaux de la consigne si a est faible. Il n'a pas d'influence sur la précision si K = 1.

4.4. Correction proportionnelle, intégrale et dérivée:

Correcteur proportionnel, intégral et dérivé PID

- l'action proportionnelle diminue le temps de réponse et l'erreur statique mais augmente le dépassement donc risque d'instabilité.
- l'action intégrale annule l'erreur statique donc augmente la précision mais risque d'instabilité.
- l'action dérivée augmente la marge de phase donc la stabilité.

Le correcteur PID théorique a une fonction de transfert :
En pratique, on prend :

5. Influence des perturbations sur la précision des systèmes asservis

1er cas : α1 + α2 = 0 ⇒ α1 = α2 = 0
Quand il n'y a pas d'intégrateur dans la boucle ouverte, une perturbation engendre un écart statique non nul.

2ème cas : α1 + α2 > 0
- S'il y a au moins un intégrateur dans la boucle ouverte, la précision ne dépend que de la partie du système en amont de la perturbation.
- Si la partie amont du système comporte au moins un intégrateur, la perturbation n'a pas d'effet sur la précision : on dit que le système rejette la perturbation.






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