Réduction de systèmes multiples
Réduction de systèmes multiples ( schémas blocs et diagrammes de fluence
On va donc essayer de réduire ces systèmes complexes à une seule fonction de transfert.
On peut représenter des systèmes en utilisant l’une de deux méthodes : les schémas blocs, ou les diagrammes de fluence. Habituellement, on se sert des schémas blocs pour l’analyse dans le domaine fréquentiel, et les diagrammes de fluence pour l’analyse par équations d’état.
1. Schémas blocs
Pour la réduction des systèmes, on a les règles suivantes :
Règle 1 : Série
Pour des blocs en série, le bloc total est la multiplication des blocs, comme montré à la figure
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| Schéma bloc en série |
Note : Cette règle est vraie à condition que la connexion d’un système à un autre n’affecte pas la sortie. En d’autre mots, cette réduction est possible si la sortie d’un système est la même qu’il y ait un autre sous-système après ou pas.
Règle 1 : Parallèle
Pour des blocs en parallèle, on fait la somme (ou la soustraction) des blocs, comme montré à la figure
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| Schémas bloc en parallèle |
Règle 1 : Contre-réaction ( feedback)
Une boucle de feedback est montrée à la figure.
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| Boucle de feedback |
La fonction de transfert équivalente est :
Note : C’est une règle importante : elle est utilisée souvent. La démonstration est comme suit :
Au point a,
A(s) = R(s) C(s)H(s)
Au point b,
C(s) = A(s)G(s)
= G(s)[R(s) - C(s)H(s)]
= G(s)R(s) -G(s)C(s)H(s)
Ce qui donne :
Autre simplifications
D’autres types de simplifications sont montrées aux figures suivantes :
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| Schémas bloc, simplification 1 |
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Exemple 1:
Simplifier le diagramme suivant
Première étape :
Deuxième étape :
Troisième étape :
2. Analyse et design de systèmes avec feedback
Soit le système avec feedback unitaire de la figure suivante :
Ce système peut être simplifié par :
ou K est le gain de l’amplificateur. Les pôles sont :
Selon la valeur de K, le système est sur-amorti, sous-amorti ou en amortissement critique.
Exemple 2 :
Soit le système suivant :
Ajuster le gain K pour que le système ait un dépassement maximal de 10%.
La fonction de transfert en boucle fermée est :
Selon les équations des systèmes de deuxième ordre,
Le dépassement maximal est fonction de l’amortissement seulement. Selon l'équation précédente, l’amortissement n’est fonction que du gain K. Un amortissement de 10% implique que est 0.591. On trouve donc une valeur de K de
K = 17:892
Si on aurait choisit le temps de stabilisation comme critère de design, on aurait été incapable de satisfaire aux exigences. Le temps de stabilisation est fonction de la partie réelle des pôles, et dans ce cas, K n’affecte pas la partie réelle.
3. Diagrammes de fluence
Les diagrammes de fluence sont une alternative aux schémas blocs. Ils sont constitués de branches et noeuds.
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| Équivalence schéma bloc - diagramme de fluence |
4. Règle de Mason
Pour réduire les diagrammes de fluence, on se sert de la règle de Mason. Avant de procéder à l’explication de la Règle de Mason, il faut premièrement énumérer quelques définitions.
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| Exemple, diagramme de fluence |
Gain de boucle : Le produit des gains dans un parcours qui débute et finit au même noeud.
Dans l'exemple, on a 4 boucles. Les gains des 4 boucles sont :
1. G2H1
2. G4H2
3. G4G5H3
4. G4G6H3
Gain en parcours direct : Le produit des gains d’un parcours allant du noeud du début au noeud de fin (sans revenir en arrière).
Dans l’exemple précédent, les gains en parcours direct sont :
1. G1G2G3G4G5G7
2. G1G2G3G4G6G7
Boucles sans contact : Des boucles qui n’ont aucun noeud en commun.
Dans le circuit de l'exemple, la boucle G2H1 n’a aucun noeud en commun avec les autres boucles.
Gain des boucles sans contact : Le produit des gains des boucles qui ne se touchent pas pris 2, 3, 4, etc à la fois.
Dans l’exemple précédent, les gains prit deux à la fois sont :
1. [G2H1].[G4H2]
2. [G2H1].[G4G5H3]
3. [G2H1].[G4G6H3]
Il n’y pas trois boucles indépendantes dans l’exemple.
Règle de Mason
où
On illustre à l’aide d’un exemple.
Exemple 3 :
Soit le diagramme de fluence suivant :
- Trouver la fonction de transfert
1. Déterminer les gains en parcours direct : il y a un seul parcours direct.
G1G2G3G4G5
2. Gains des boucles :
1. G2H1
2. G4H2
3. G7H4
4. G2G3G4G5G6G7G8
3. Boucles sans contact :
La boucle 1 ne touche pas la boucle 2
La boucle 1 ne touche pas la boucle 3
La boucle 2 ne touche pas la boucle 3
Donc, si on prend les gains de boucle 2 à la fois :
1 et 2 : G2H1G4H2
1 et 3 : G2H1G7H4
2 et 3 : G4H2G7H4
et 3 à la fois :
1 et 2 et 3 : G2H1G2H4G7H4
4. Calcul de 𝚫 :
𝚫 = 1 - [G2H1 +G4H2 +G7H4 +G2G3G4G5G6G7G8] + [G2H1G4H2 +G2H1G7H4 +G4H2G7H4] - [G2H1G2H4G7H4]
𝚫k = 𝚫1 = 1 - G7H4
On retrouve donc la fonction de transfert suivante :
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